ヘルダー平均

ヘルダー平均（ヘルダーへいきん、英語: Hölder mean）、またはべき平均（べきへいきん）、一般化平均（いっぱんかへいきん、英語: generalized mean）、とは、数の集合を集計する関数の族である。特別な場合としてピタゴラス平均（算術平均、幾何平均、調和平均）を含む。名称はオットー・ヘルダーにちなむ。

定義

p を0でない実数とする。正の実数 x₁, ... , x_n に対して指数 p のヘルダー平均は次で定義される：

${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n}):=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}}$

p = 0 のときは、幾何平均（指数が0に向かうときの極限）で定義する。

${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n}):={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}}$

さらに、重み w_i （正の数のセット。ただし${\displaystyle \sum w_{i}=1}$）に対して重み付きヘルダー平均は次で定義される：

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})&:=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\\M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})&:=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\end{aligned}}}$

重みを考えない平均は、すべての重みを w_i = 1/n としたものに相当する。

特別な場合

いくつかの特定の p の値に対しては、特別の名前が付けられている。

最小値

${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv \lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$

調和平均

${\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}} \dots {\frac {1}{x_{n}}}}}}$

幾何平均

${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}}$

算術平均

${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1} \dots x_{n}}{n}}}$

二乗平均平方根

${\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2} \dots x_{n}^{2}}{n}}}}$

立方平均

${\displaystyle M_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3} \dots x_{n}^{3}}{n}}}}$

最大値

${\displaystyle M_{ \infty }(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv \lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$

性質

ヘルダー平均は次の性質をもつ：

• 引数 x₁, ... , x_n の最小値と最大値の間にある。

  ${\displaystyle \min(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\dots ,x_{n})}$

• 引数に対して対称である。つまり引数を並べ替えてもその値を変えない。引数の置換演算子を P とすると次式で表される：

  ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(P(x_{1},\dots ,x_{n}))}$

• 他の平均と同様、引数 x₁, ... , x_n に対して斉次である。つまり b を正の実数として次式が成り立つ：

  ${\displaystyle M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})=bM_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}$

• 準算術平均と同様に、平均の計算は同じサイズのサブブロックの計算に分割できる。これにより、必要に応じて分割統治法を使用して平均を計算できる。

  ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{nk})=M_{p}\left[M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k 1},\dots ,x_{2k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)k 1},\dots ,x_{nk})\right]}$

異なるヘルダー平均の間に成り立つ不等式

一般に -∞ ≤ p < q ≤ ∞ ならば

${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}$

である。また2つの平均が等しいのは x₁ = x₂ = ⋯ = x_n のとき、かつそのときに限る。これはイェンセンの不等式より、任意の実数 p に対して

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0}$

が成り立つためである。

特に p = -1, 0, 1 の場合を考えると、この不等式は調和平均 ≤ 幾何平均 ≤ 相加平均

${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}} {\frac {1}{x_{2}}} \cdots {\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots {}x_{n}}}\leq {\frac {x_{1} x_{2} \cdots x_{n}}{n}}}$

を意味する。

応用

信号処理

ヘルダー平均より非線形移動平均が導かれる。これは小さい p の場合には小さい信号値を強調し、大きい p の場合は大きい信号値を強調する。移動算術平均の効率的な実装である smooth が使えるならば、次のHaskellコードに従って移動ヘルダー平均を実装できる。

• p が大きい場合、整流された信号の包絡線検波が得られる。
• p が小さい場合、マススペクトルのベースライン検出器が得られる。

一般化 f-平均

ヘルダー平均はさらに一般化 f-平均に一般化できる。

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}$

この式は f(x) = log x とすれば、極限を使うことなく幾何平均も表すことができる。ヘルダー平均は f(x) = x^p とすることで得られる。

脚注

関連項目

• 算術幾何平均
• 平均
• ヘロニアン平均
• 算術平均と幾何平均の不等式
• レーマー平均 – これもヘルダー平均と同様に冪乗に関係する平均である。
• ミンコフスキー距離

外部リンク

• Power mean at MathWorld
• Examples of Generalized Mean
• A proof of the Generalized Mean on PlanetMath